Page 46 - MATeMAtyka 1. Podręcznik

5.5. Współczynnik kierunkowy prostej

Twierdzenie

Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b przechodzącej przez punkty
(x 1 ,y 1 )i(x 2 ,y 2 ), gdzie x 1 = x 2 , dany jest wzorem:
y 2 − y 1
a =
x 2 − x 1

Dowód
Podstawiamy współrzędne punktów (x 1 ,y 1 )i(x 2 ,y 2 ) Y
do równania prostej i zapisujemy układ równań:
y 2 (x 2,y 2)

y 1 = ax 1 + b
y 2 − y 1
y 2 = ax 2 + b
y 1 (x 1,y 1)
Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy: x 2 − x 1
y 2 − y 1 = ax 2 − ax 1
czyli y 2 − y 1 = a(x 2 − x 1 ), skąd:
a = y 2 −y 1 Uwaga: O x 1 x 2 X
x 2 −x 1 x 1 = x 2.
Przykład 1
Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(−2, 3)
i B(4, 6).

Mamy (x 1 ,y 1 )= (−2, 3) oraz (x 2 ,y 2 )= (4, 6).
Zatem współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b przechodzącej przez
punkty A i B jest równy:
y 2 −y 1 6−3 3 1
a = = = =
x 2 −x 1 4−(−2) 6 2
Ćwiczenie 1
Oblicz współczynnik kierunkowy prostej, do której należą punkty A i B.
a) A(3, 7), B(9, 12) b) A(3, 5), B(−7, −5) c) A(12, −2), B(6, 8)

Ćwiczenie 2
Czy prosta przechodząca przez punkty P(4, 8) i Q(−2, −1) jest równoległa do
prostej przechodzącej przez punkty R i S?
5
a) R(0, 6), S(−4, 0) b) R(−2, 4), S(1, 7) c) R(5, − ), S(8, 2)
2
Ćwiczenie 3
Uzasadnij, że czworokąt ABCD o wierzchołkach A(−3, −5), B(6, −2), C(4, 2)
oraz D(−5, −1) jest równoległobokiem.

200 5. Funkcja liniowa